## [Bass‑Zahl](/de/node/63441) Definition Eine Invariante, die Multiplikitäten von Kopien indekomposabler injektiver Hüllen (typischerweise E(R/p) für Primideale p) festhält, die in den einzelnen Stellen einer minimalen injektiven Auflösung eines Moduls auftreten; oft nach Primidealen und Graden indiziert. ## Prinzip Prinzip Bass‑Zahlen werden durch minimale injektive Auflösungen und Matlis‑artige Zerlegungen organisiert: Die Bass‑Zahl μ^{i}(p,M) zählt die Multiplizität der injektiven Hülle von R/p im Grad i der minimalen injektiven Auflösung von M und ist damit eine lokale, gradweise Messung injektiver Komplexität. ## Demonstration Demonstration Für einen noetherschen lokalen Ring (R,m) und ein endlich erzeugtes Modul M konstruiert man eine minimale injektive Auflösung und liest die Multiplizitäten von E(R/m) in jedem Grad ab, um die Bass‑Zahlen μ^{i}(m,M) zu erhalten. In gorensteinschen lokalen Ringen verschwinden viele Bass‑Zahlen außer in vorhersehbaren Graden, was strukturelle Einschränkungen zeigt. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Bass‑Zahlen mit Betti‑Zahlen verwechseln (projektive vs. injektive Zählungen) oder versuchen, informationen über torsionsfreien Rang aus Bass‑Zahlen abzulesen; ein weiterer Missbrauch ist, das Bass‑Zählen ohne Minimalitätsbedingung anzuwenden, was die Multiplizitäten verändert. ## Konsequenz Konsequenz Bass‑Zahlen liefern feine lokale Informationen über injektive Struktur, detektieren das Verhalten der injektiven Dimension und bestimmte Dualitätsphänomene und sind zentrale Invarianten in Klassifikationsproblemen für Module und lokale Ringe. ## Umkehrung Umkehrung Die duale Größe sind Betti‑Zahlen: Während Bass‑Zahlen Multiplikitäten injektiver Summanden in injektiven Auflösungen messen, zählen Betti‑Zahlen die Multiplikitäten freier/projektiver Summanden in projektiven Auflösungen; der Vergleich beider liefert duale Perspektiven auf Modulkkomplexität. ## Abgrenzung Abgrenzung Definiert vornehmlich für Module über noetherschen Ringen, wo minimale injektive Auflösungen und Zerlegungen in indekomposable Injketive existieren; außerhalb noetherscher Hypothesen oder ohne Eindeutigkeit minimaler Auflösungen sind die Bass‑Zählungen möglicherweise nicht verfügbar oder wohl definiert. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Bass‑Zahlen stehen oft in Konkurrenz zu Betti‑Zahlen und zu Tiefe/Weite‑Invarianten: Sie betonen injektive Zerlegungsdaten statt freier Auflösungsdaten und erzeugen Spannung, wenn beide Invariantenfamilien zur Klassifikation von Singularitäten oder Modultypen herangezogen werden. ## Synthese Synthese Bass‑Zahlen sind gradweise, nach Primidealen indizierte Multiplizitäten indekomposabler injektiver Hüllen in einer minimalen injektiven Auflösung eines Moduls; sie fassen die lokale injektive Komplexität zusammen und bilden das duale Gegenstück zu Betti‑Zahlen in der homologischen Klassifikation.