## [Injektive Dimension](/de/node/63435) Definition Die kleinstmögliche nichtnegative ganze Zahl n (oder unendlich), so dass ein Objekt eine injektive Auflösung der Länge n besitzt; anders gesagt, die minimale Länge einer Kette von injektiven Objekten, die das Objekt auflöst und damit seinen Abstand zur Injektivität misst. ## Prinzip Prinzip Die injektive Dimension wird durch das Vorhandensein injektiver Auflösungen organisiert: Ein Objekt hat inj.dim ≤ n genau dann, wenn Ext^{i}(-, Objekt) für alle i>n gegenüber allen Testobjekten verschwindet; das Verschwinden höherer Ext‑Gruppen ist das entscheidende Kriterium. ## Demonstration Demonstration Für einen R‑Modul M über einem noetherschen Ring R konstruiert man eine injektive Auflösung 0→M→I^0→I^1→…; endet diese Sequenz bei I^n (I^i=0 für i>n), so ist inj.dim(M)=n. Über einem Körper k ist jeder endliche Vektorraum injektiv, also injektive Dimension 0. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die injektive Dimension als Länge einer projektiven Auflösung auffassen oder projektive Auflösungen ohne dualisierende Argumente substituieren; oder aus endlicher projektiver Dimension fälschlich auf endliche injektive Dimension schließen ohne kategorielle Dualitäten zu prüfen. ## Konsequenz Konsequenz Endliche injektive Dimension liefert konkrete Verschwindeerscheinungen für Ext‑Gruppen, vereinfacht Berechnungen abgeleiteter Funktoren und steht häufig in Wechselwirkung mit Tiefe und Regularität des betreffenden Rings oder der Kategorie. ## Umkehrung Umkehrung Die duale Größe ist die projektive Dimension: Während die injektive Dimension den Abstand zur Injektivität misst, misst die projektive Dimension den Abstand zur Projektivität; das Umkehren der Pfeile tauscht die Arten von Auflösungen und die Ext/Tor‑Gruppen, die das Invariante steuern. ## Abgrenzung Abgrenzung Definiert in abelschen Kategorien mit genügend Injketiven oder im abgeleiteten Kontext; minimale injektive Auflösungen erfordern Bedingungen (z. B. noethersch) für Existenz und Eindeutigkeit bis auf Isomorphie. Ohne eine ausreichende Versorgung mit Injektiven verliert die Definition an Aussagekraft. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Es besteht Verwechslungsgefahr mit projektiver Dimension oder homologischer Tiefe; die Spannung liegt zwischen dualen Auflösungen (injektiv vs. projektiv) und dem Verschwinden von Ext gegenüber dem Verschwinden von Tor. ## Synthese Synthese Die injektive Dimension ist die minimale Länge einer injektiven Auflösung eines Objekts; sie wird durch das Verschwinden der Ext‑Gruppen in hohen Graden detektiert und liefert eine duale homologische Messgröße zur projektiven Dimension, sofern injektive Auflösungen verfügbar sind.