## [Tiefe](/de/node/63421) Definition Ein Invariant eines Moduls (oder lokalen Rings), gegeben durch die Länge einer maximalen regulären Sequenz, die in einem gegebenen Ideal enthalten ist, bzw. die maximale Länge von Nichtnullteiler-Sequenzen; er misst die Nichtdegeneration von Relationen. ## Prinzip Prinzip Die Tiefe zählt, wie viele aufeinanderfolgende Elemente als Nichtnullteiler auf einem Modul wirken; eine reguläre Sequenz der Länge d zeigt, dass das Modul bestimmten Degenerationen bis zu d Stufen widersteht. ## Demonstration Demonstration Für einen lokalen noetherschen Ring R und ein endlich erzeugtes Modul M gilt: Existiert eine Sequenz x1,...,xr aus dem maximalen Ideal, die auf den sukzessiven Quotienten Nichtnullteiler sind, dann gilt depth(M) ≥ r, und Gleichheit gilt, wenn die Sequenz maximal ist. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Tiefe als Kodimension oder Krull-Dimension ohne Einschränkung zu interpretieren ist falsch; Tiefe und Dimension stehen durch Ungleichungen in Beziehung, sind aber verschiedene Invarianten und können in pathologischen Fällen stark abweichen. ## Konsequenz Konsequenz Die Tiefe steuert homologische Eigenschaften: sie tritt in der Auslander–Buchsbaum-Formel auf und bestimmt die Cohen–Macaulay-Eigenschaft, wenn die Tiefe der Krull-Dimension entspricht, was günstige Vanishings lokaler Kohomologie zur Folge hat. ## Umkehrung Umkehrung Die Umkehrung fokussiert auf das Auftreten von Nullteilern: anstatt Nichtnullteiler zu zählen, würde man messen, wie früh Nullteiler erscheinen, was komplementäre Hindernisinformation liefert. ## Abgrenzung Abgrenzung Hauptsächlich definiert für Module über kommutativen noetherschen Ringen und lokale Ringe; in nicht-noetherschen oder nichtkommutativen Umgebungen kann Tiefe undefiniert sein oder modifizierte Definitionen erfordern. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Tiefe steht im Spannungsverhältnis zu Dimension und projektiver Dimension: während Dimension die Größe von Primketten misst, misst Tiefe die Resistenz gegen Nullteiler; ihre Wechselwirkung ist zentral und mitunter kontraintuitiv. ## Synthese Synthese Tiefe ist das homologische Maß dafür, wie viele Nichtnullteiler-Stufen ein Modul zulässt; zusammen mit der Krull-Dimension kennzeichnet sie Regularitäts-Eigenschaften und ordnet Module etwa als Cohen–Macaulay ein.