## [Geometrische Vielfachheit](/de/node/63418) Definition Die Dimension des Eigenraums, der zu einem gegebenen Eigenwert gehört; gleichbedeutend mit der Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren für diesen Eigenwert. ## Prinzip Prinzip Die geometrische Vielfachheit misst die Vektorraumgröße der Lösungen von (A − λI)v = 0 und gibt die Anzahl unabhängiger Richtungen an, die der Operator an diesem Eigenwert festhält. ## Demonstration Demonstration Hat eine 4×4-Matrix den Eigenwert 5 mit einem Eigenraum, der von zwei unabhängigen Vektoren aufgespannt wird, so ist die geometrische Vielfachheit von 5 gleich 2, unabhängig von der algebraischen Vielfachheit im Polynom. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die geometrische Vielfachheit als Exponent im charakteristischen Polynom zu verwenden ist falsch; sie ohne Prüfung der linearen Unabhängigkeit als unter Erweiterung des Grundkörpers invariant zu behandeln, kann irreführen. ## Konsequenz Konsequenz Geometrische Vielfachheiten bestimmen die minimale Anzahl von Jordan-Blöcken für jeden Eigenwert und sind das Kriterium für Diagonalisierbarkeit, wenn sie für jeden Eigenwert der algebraischen Vielfachheit entsprechen. ## Umkehrung Umkehrung Die umgekehrte Sicht ist die algebraische Vielfachheit: das Zählen der Nullstellenordnung im charakteristischen Polynom statt der unabhängigen Eigenvektoren. ## Abgrenzung Abgrenzung Definiert für Eigenwerte linearer Operatoren in endlichdimensionalen Vektorräumen; in unendlichdimensionalen Fällen verallgemeinert sich die Definition zur Dimension des Eigenraums, die unendlich sein oder spektrale Feinheiten nicht erfassen kann. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung zur algebraischen Vielfachheit entsteht, wenn mehrfache Nullstellen nicht genügend Eigenvektoren liefern; die geometrische Vielfachheit erfasst lineare Unabhängigkeit, die algebraische die Polynomstruktur. ## Synthese Synthese Die geometrische Vielfachheit quantifiziert die verfügbaren unabhängigen Eigenvektoren zu einem Eigenwert; zusammen mit der algebraischen Vielfachheit unterscheidet sie diagonalisierbare Fälle von solchen, die Jordan-Blöcke benötigen.