##  [Algebraische Vielfachheit](/de/node/63417) 

 Definition

Der Exponent eines Eigenwerts als Nullstelle des charakteristischen Polynoms eines linearen Operators oder einer Matrix; gleichbedeutend mit der Potenz des entsprechenden linearen Faktors in der Polynomzerlegung.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Die algebraische Vielfachheit ergibt sich aus der Zerlegung des charakteristischen Polynoms: wenn (λ − λ0)^m das Polynom teilt, dann hat λ0 algebraische Vielfachheit m.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Bei einer 3×3-Matrix mit charakteristischem Polynom (λ−2)^2(λ−3) hat der Eigenwert 2 algebraische Vielfachheit 2 und 3 die Vielfachheit 1; das charakteristische Polynom notiert diese Zählungen, auch wenn weniger Eigenvektoren existieren.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Algebraische Vielfachheit mit der Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren gleichzusetzen führt zu Fehlern, insbesondere wenn eine mehrfache Nullstelle einem defekten Eigenraum entspricht.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Richtige Anwendung liefert die Exponenten, die für die Jordan-Normalform benötigt werden, und stellt sicher, dass die Summe der algebraischen Vielfachheiten dem Grad des charakteristischen Polynoms entspricht.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Die Umkehrung des Begriffs ist die geometrische Vielfachheit: die Dimension des Eigenraums anstelle der Nullstellenordnung im Polynom.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für endlichdimensionale lineare Operatoren oder Matrizen über einem Körper, bei denen ein charakteristisches Polynom existiert; nicht unmittelbar anwendbar auf allgemeine unendlich-dimensionale Operatoren oder spektrale Konzepte ohne Polynom.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen algebraischer Vielfachheit (Polynom-Rangzählung) und geometrischer Vielfachheit (Vektorraumausmaß); sie stimmen für diagonalisierbare Operatoren überein, sonst können sie abweichen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Die algebraische Vielfachheit ist das algebraische Maß dafür, wie stark ein Eigenwert im charakteristischen Polynom vorkommt; zusammen mit Informationen über Eigenräume bestimmt sie kanonische Zerlegungen wie die Jordan-Form.