## [Konditionszahl](/de/node/63407) Definition Eine numerische Größe, die angibt, wie empfindlich die Ausgabe einer Funktion oder die Lösung eines linearen Systems gegenüber kleinen relativen Störungen der Eingabe ist; für invertierbare Matrizen in einer gewählten Norm üblicherweise ||A||·||A^{-1}||, und für Matrizen in der Spektralnorm das Verhältnis des größten zum kleinsten Singulärwert. ## Prinzip Prinzip Die Konditionszahl quantifiziert die worst‑case-relative Verstärkung von Eingabefehlern zu Ausgabe­fehlern für das spezifizierte Problem und die Norm; sie trennt das intrinsische Problem‑Conditioning von der algorithmischen Stabilität und hängt sowohl vom Operator als auch von der Normwahl ab. ## Demonstration Demonstration Für die 2×2 Diagonalmatrix diag(100,1) in der Spektralnorm ist die Konditionszahl 100/1=100, das heißt eine relative Störung von 1% in der Eingabe kann bis zu ~100% relative Änderung in der Lösung verursachen. Für eine singuläre Matrix ist die Konditionszahl unendlich, was auf keinen stabilen Inversen hinweist. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Beim Zitieren der Konditionszahl die verwendete Norm nicht angeben oder eine große Konditionszahl automatisch mit algorithmischem Versagen gleichsetzen. Die 2‑Norm‑Konditionszahl zur Fehlerprognose für einen Algorithmus zu verwenden, dessen Stabilität von einer anderen Norm bestimmt wird, führt zu Fehleinschätzungen. ## Konsequenz Konsequenz Eine große Konditionszahl bedeutet schlechtes Conditioning: Lösungen sind sehr empfindlich und erfordern Regularisierung, höhere Genauigkeit oder Reformulierung; eine nahe 1 liegende Konditionszahl signalisiert ein gut konditioniertes Problem, bei dem Fehler verhältnismäßig bleiben. ## Umkehrung Umkehrung Ein niedriges Konditionszahl‑Wert als Garantie für eine genaue numerische Lösung unabhängig vom Algorithmus zu interpretieren; die Umkehrung lautet, dass gutes Conditioning keinen Ersatz für numerisch stabile Algorithmen darstellt. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt relativ zur gewählten Norm und zum betrachteten Problem (Matrixinversion, lineares Lösen). Bei nichtlinearen Problemen verwendet man lokale Konditionszahlen über die Jacobi-Matrix; bei nichtinvertierbaren Operatoren ist die klassische Konditionszahl unendlich und muss durch konditionelle Maße auf Unterräumen oder regularisierte Varianten ersetzt werden. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung zwischen Problemkonditionierung (intrinsische Empfindlichkeit gemessen durch die Konditionszahl) und numerischer Stabilität (algorithmische Fehlerverstärkung): ein gut konditioniertes Problem kann schlecht gelöst werden und ein schlecht konditioniertes Problem kann durch Regularisierung oder spezialisierte Algorithmen handhabbar werden. ## Synthese Synthese Die Konditionszahl ist ein normabhängiger Skalar, der die worst‑case‑relative Verstärkung von Eingabestörungen durch ein Problem misst; bei Matrizen ist sie ||A||·||A^{-1}|| und in der Spektralnorm das Verhältnis der extremen Singulärwerte, und sie leitet Erwartungen über Sensitivität und Stabilisierung ab.