## [Eigenvektor](/de/node/63403) Definition Ein von null verschiedener Vektor v mit Av = λv für ein Skalar λ (den zugehörigen Eigenwert); Eigenvektoren erzeugen Eigenräume und sind bis auf skalare Vielfache eindeutig. ## Prinzip Prinzip Eigenvektoren tragen konkret invariante Richtungen: der Eigenraum zu λ ist ker(A−λI), ein linearer Unterraum dessen Dimension der geometrischen Vielfachheit von λ entspricht; sie bilden eine Basis, wenn der Operator diagonalisierbar ist. ## Demonstration Demonstration Für diag(5,3,3) in R^3 ist jedes von null verschiedene Vielfache von e1=(1,0,0) ein Eigenvektor zum Eigenwert 5; der Eigenraum zum Eigenwert 3 ist die von e2 und e3 aufgespannte Ebene und enthält unendlich viele Eigenvektoren. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Den Nullvektor als Eigenvektor zu betrachten oder zu glauben, Eigenvektoren für denselben Eigenwert seien eindeutig, sind gängige Fehler; ebenso ist die Annahme, Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten seien stets orthogonal, falsch außer bei speziellen Operatoren (z. B. normal). ## Konsequenz Konsequenz Ein vollständiges System linear unabhängiger Eigenvektoren liefert Diagonalisierung und erleichtert Berechnungen (Potenzbildungen, Exponentialfunktionen) und die Modalanalyse; partielle Eigenvektorinformation liefert invariante Unterräume für Reduktion und Störungstheorie. ## Umkehrung Umkehrung Generalisierte Eigenvektoren treten auf, wenn (A−λI) nicht diagonalisierbar ist: sie erfüllen (A−λI)^k v = 0 für ein k>1 und erweitern Eigenvektoren zu Ketten, die die nilpotente Wirkung erfassen, im Gegensatz zu gewöhnlichen Eigenvektoren mit k=1. ## Abgrenzung Abgrenzung Eigenvektoren sind relativ zu einem bestimmten Eigenwert definiert; der Nullvektor ist ausgeschlossen. Über nicht algebraisch abgeschlossenen Körpern können manche Eigenvektoren erst nach Körpererweiterung existieren. Numerische Approximationen können Näherungs-Eigenvektoren liefern, die nicht exakt invariant sind. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Es besteht Spannung zwischen Eigenvektoren und Singulärvektoren: Singulärvektoren betreffen A*A und optimale Normverstärkung, während Eigenvektoren die invarianten Richtungen von A selbst beschreiben; ihre Verwechslung vermengt unterschiedliche geometrische Informationen. ## Synthese Synthese Ein Eigenvektor ist ein von null verschiedener Vektor, den ein linearer Operator lediglich skaliert; Mengen von Eigenvektoren bilden Eigenräume, die grundlegenden invarianten Bausteine zur Zerlegung und zum Verständnis linearer Operatoren.