## [Eigenwert](/de/node/63402) Definition Ein Skalar λ, für das es einen von null verschiedenen Vektor v gibt mit Av = λv für einen linearen Operator oder eine Matrix A; äquivalent: λ gehört zum Punktspektrum von A. ## Prinzip Prinzip Eigenwerte detektieren eindimensionale invariante Unterräume: sie sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms in endlichdimensionalen Räumen und kennzeichnen Richtungen, in denen der Operator durch Skalierung statt durch Mischung wirkt. ## Demonstration Demonstration Bei einer Diagonalmatrize diag(1,2,3) sind die Eigenwerte 1, 2 und 3, jeweils mit den entsprechenden Standardbasisvektoren als Eigenvektoren. Für eine 2×2-Rotationsmatrix über R ohne reelle Eigenvektoren existieren keine reellen Eigenwerte, wohl aber komplexe. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Annahme, jeder Spektralwert sei ein Eigenwert, ist in unendlichdimensionalen Situationen falsch; ebenso irreführend ist die Gleichsetzung algebraischer und geometrischer Vielfachheit ohne Prüfung, etwa wenn Jordan-Blöcke vorliegen. ## Konsequenz Konsequenz Eigenwerte bestimmen Determinante und Spur (Produkt und Summe der Eigenwerte in endlichen Dimensionen), Stabilitätseigenschaften dynamischer Systeme (Vorzeichen/Beträge) und ermöglichen Modalanalysen, sofern eine vollständige Eigenbasis existiert. ## Umkehrung Umkehrung Im Gegensatz dazu stehen Singulärwerte: Singulärwerte sind nichtnegative reelle Zahlen, die die Verstärkung in der euklidischen Norm durch A beschreiben, gewonnen als Wurzeln der Eigenwerte von A*A, und sie tragen nicht dieselbe Interpretation bezüglich invarianten Unterräumen wie Eigenwerte. ## Abgrenzung Abgrenzung Eigenwerte sind relativ zum gewählten Körper und Operator definiert; über nicht algebraisch abgeschlossenen Körpern können einige Eigenwerte in einer Erweiterung liegen. Zu unterscheiden sind algebraische und geometrische Vielfachheit sowie reelle und komplexe Eigenwerte für reelle Operatoren. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung besteht zwischen Eigenwerten und approximativem/kontinuierlichem Spektrum: ein Operator kann spektrale Punkte besitzen, die keine Eigenwerte sind, aber dennoch quasi-eigenverhalten hervorrufen; diese Unterscheidung ist für korrekte Analysen nötig. ## Synthese Synthese Ein Eigenwert ist ein skalierender Faktor, mit dem ein linearer Operator einen von null verschiedenen Vektor streckt; er ist ein konkreter Punkt des Punktspektrums, der invariante Richtungen kodiert und viele algebraische und dynamische Eigenschaften des Operators bestimmt.