##  [Charakteristisches Polynom](/de/node/63399) 

 Definition

Für eine n×n-Matrix A bzw. einen linearen Operator ist das charakteristische Polynom das normierte Polynom p(λ)=det(λI−A), dessen Nullstellen die Eigenwerte von A (über einem algebraischen Abschluss) sind, mit Vielfachheiten gleich den algebraischen Vielfachheiten.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Der Grad entspricht der Matrizenordnung n, die Koeffizienten sind (bis auf Vorzeichen) die elementarsymmetrischen Polynome der Eigenwerte: der Koeffizient von λ^{n−1} ist −Spur(A), der konstante Term ist (−1)^n det(A). Der Cayley–Hamilton-Satz besagt p(A)=0.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Beispiel: Für A = [[2,1],[0,3]] über R ist p(λ)=det([[λ−2,−1],[0,λ−3]])=(λ−2)(λ−3)=λ^2−5λ+6; die Eigenwerte 2 und 3 sind Nullstellen mit algebraischer Vielfachheit 1.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Das charakteristische Polynom mit dem Minimalpolynom verwechseln: das charakteristische Polynom notiert die algebraischen Vielfachheiten, erfasst aber nicht notwendigerweise das minimal annullierende Polynom oder die Größe der Jordanblöcke; aus dem Grad allein auf einfache Nullstellen zu schließen ist über einem nicht algebraisch abgeschlossenen Körper riskant.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Das charakteristische Polynom kodiert das Spektrum und liefert Determinante und Spur als Koeffizienten; es ist zentral in der Spektralanalyse, beim Beweis von Cayley–Hamilton und bei der invarianten Klassifikation linearer Operatoren bis auf Ähnlichkeit.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Statt das charakteristische Polynom zur Spektralanalyse zu nutzen, verwendet man das Minimalpolynom oder die rationale Normalform für feinere Strukturinformation über zyklische Zerlegungen und Jordanblock-Größen, die für Ähnlichkeitsklassifikation relevant sind.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Definiert für quadratische lineare Operatoren; Eigenwerte können in einer Erweiterung des Koeffizientenfeldes liegen, daher sind Nullstellen im algebraischen Abschluss zu betrachten; für unendlichdimensionale Operatoren ist das charakteristische Polynom im Allgemeinen nicht definiert.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen charakteristischem Polynom und Minimalpolynom: Beide annullieren den Operator in Cayley–Hamilton-Zusammenhängen, unterscheiden sich jedoch im Grad und in der Erfassung der Jordan-Struktur; außerdem Spannung zwischen algebraischer Vielfachheit der Nullstellen und geometrischer Vielfachheit (Dimension der Eigenräume).

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Das charakteristische Polynom ist das normierte Polynom det(λI−A) vom Grad n, das die Eigenwerte bündelt und eng mit Spur, Determinante und dem Cayley–Hamilton-Satz verknüpft ist, während feinere Jordan-Strukturen vom Minimalpolynom erfasst werden.