##  [Spur](/de/node/63398) 

 Definition

Für eine quadratische Matrix oder einen Endomorphismus ist die Spur die Summe der Diagonaleinträge in jeder Matrixdarstellung; äquivalent die Summe der Eigenwerte mit algebraischer Vielfachheit und ein Ähnlichkeitsinvariant.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Linearität und Zyklizität sind zentral: Spur(A+B)=Spur(A)+Spur(B), Spur(cA)=c·Spur(A) und Spur(AB)=Spur(BA) für passender Matrizen; der Koeffizient von λ^{n−1} im charakteristischen Polynom lautet −Spur(A).

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Beispiel: A = [[1,2],[3,4]] hat Spur 1+4=5. Seine Eigenwerte summieren zu 5, und für invertierbares S gilt Spur(S^{-1}AS)=Spur(A), die Spur ist also invariabel unter Konjugation.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Aus Spur=0 auf Nilpotenz oder Nichtinvertierbarkeit schließen: eine Nullspur impliziert nicht, dass eine Matrix nilpotent oder singulär ist (die Spur liefert nur Summeninformation des Spektrums), oder aus der Spur auf einzelne Eigenwerte schließen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Die Spur liefert ein einfaches, berechenbares Invariant, das Koeffizienten des charakteristischen Polynoms steuert, in der Linearisierung des Determinanten erscheint und als Charakter in der Darstellungstheorie dient; sie ist additiv bei direkten Summen und stabil unter Konjugation.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Anstatt eine Matrix nur durch ihre Spur (einen Skalar) zusammenzufassen, analysiere man das vollständige Spektrum oder die Jordansche Normalform, um die verlorene spektrale Detailstruktur zu gewinnen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Definiert für quadratische Matrizen über Körpern und für Spurklasseoperatoren in unendlichen Dimensionen; für allgemeine unendlichdimensionale Operatoren kann die Spur undefiniert sein und von Basiswahl oder Topologie abhängen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Spannung zwischen Spur und Determinante: Die Spur fasst Eigenwerte additiv zusammen, die Determinante multipliziert sie; außerdem Schein-Konflikt zwischen basisabhängiger Diagonalsumme und der Ähnlichkeitsinvarianz der Spur.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Die Spur ist das Ähnlichkeitsinvariante Skalar, das die Summe der Diagonaleinträge bzw. der Eigenwerte angibt; Linearität und Zyklizität bestimmen ihre algebraischen Anwendungen und Grenzen.