## [Codimension des Bildes](/de/node/63396) Definition Die Kodimension des Bildes (Wertbereichs) einer linearen Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen; äquivalent die Dimension des Zielraums minus Rang, ein Maß dafür, wie weit die Abbildung von Surjektivität entfernt ist. ## Prinzip Prinzip Korang = dim W − Rang(T) für T: V → W. In endlichen dualen Situationen stimmt der Korang mit der Nullität der Transponierten (oder Adjunkten) auf dem Dualraum überein. ## Demonstration Demonstration Beispiel: T: R^5 → R^7 mit Rang 4 hat Korang 7−4=3; drei unabhängige Zielrichtungen werden von T nicht erreicht, das Bild ist ein 4-dimensionaler Unterraum von R^7 mit Kodimension 3. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Den Korang fälschlich als Synonym für die Nullität (Kern-Dimension) derselben Abbildung verwenden oder die Formel aus dem endlichdimensionalen Fall auf unendlichdimensionale Kontexte anwenden, ohne Abschluss des Bildes oder stetige Duale zu berücksichtigen. ## Konsequenz Konsequenz Die Kenntnis des Korangs quantifiziert die Obstruktion zur Surjektivität: Korang=0 genau dann, wenn T surjektiv ist. Das hilft beim Aufbau rechter Inversen und steuert Lösbarkeitsbedingungen für inhomogene lineare Gleichungen. ## Umkehrung Umkehrung Die Perspektive umkehren und stattdessen den Rang betrachten: anstatt die verfehlten Ziel-Dimensionen zu zählen, zählt man die erreichten. Alternativ die Nullität betrachten, um das Versagen der Injektivität zu messen. ## Abgrenzung Abgrenzung Definiert für lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen; in unendlichdimensionalen Fällen kann der Korang unendlich sein oder von topologischen Abschlüssen und Dualräumen abhängen; bei nichtlinearen Abbildungen werden andere Invarianten benötigt. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung zwischen Korang und Nullität: beide messen einen 'Mangel', aber in dualen Positionen (Kodomäne vs Domäne). Außerdem Spannung zu verwandten Invarianten wie der Dimension des Kokerner oder dem Fredholm-Index, die Nullität und Korang verbinden. ## Synthese Synthese Der Korang ist die ganze Zahl, die die Kodimension des Bildes einer linearen Abbildung angibt: dim(Zielraum)−Rang, ein klares Maß dafür, wie viele Zielrichtungen die Abbildung nicht erreicht.