## [Nullität](/de/node/63394) Definition Die Dimension des Kerns (Nullraum) einer linearen Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen; äquivalent die Anzahl linear unabhängiger Lösungen der homogenen Gleichung T(v)=0. ## Prinzip Prinzip Rang–Nullität-Prinzip: Für eine lineare Abbildung T: V → W gilt dim V = Rang(T) + Nullität(T). Die Nullität misst die Freiheitsgrade, die auf Null abgebildet werden. ## Demonstration Demonstration Beispiel: Ist T: R^4 → R^3 eine lineare Abbildung mit Rang 2, so ist die Nullität 4−2=2; im homogenen System T(v)=0 gibt es zwei freie Variablen, der Kern ist ein 2-dimensionaler Unterraum von R^4. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Nullität mit der algebraischen Vielfachheit des Eigenwerts 0 verwechseln, ohne zu prüfen, ob die Eigenvektoren den Kern aufspannen, oder den Rang–Nullitätssatz ungeprüft auf unendlichdimensionale Räume anwenden, wo Dimensionen unendlich sein und topologische Fragen auftreten können. ## Konsequenz Konsequenz Die richtige Bestimmung der Nullität gibt die Dimension des Lösungsraums homogener linearer Systeme an, bestimmt die Zahl freier Parameter in parametrisierten Lösungen und kennzeichnet Nichtinjektivität, falls Nullität>0. ## Umkehrung Umkehrung Die Perspektive umkehren und statt der Kern-Dimension die Kodimension des Bildes (Korank) betrachten: statt zu zählen, wie groß der Kern ist, zählt man, wie viele Dimensionen des Zielraums nicht erreicht werden. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt für lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen über einem Körper; für unendlichdimensionale Räume oder nichtlineare Abbildungen benötigen analoge Konzepte zusätzliche Struktur (Topologie, Fredholm-Index) und ziehen nicht notwendigerweise eine endliche Zahl nach sich. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung zwischen Nullität und algebraischer Vielfachheit der Null-Eigenwerte: Nullität ist geometrische Vielfachheit und kann kleiner sein als die algebraische Vielfachheit; zudem Spannungen zu dualen Begriffen wie Kokerner oder Index. ## Synthese Synthese Nullität ist die ganze Zahl, die die Dimension des Kerns einer linearen Abbildung angibt; durch den Rang–Nullität-Zusammenhang ergänzt sie den Rang und zählt die unabhängigen homogenen Lösungen.