## [Skalarerweiterung](/de/node/63369) Definition Der Vorgang, den Skalarbereich eines algebraischen Objekts zu erweitern, indem man das Tensorprodukt mit einer größeren Basis S über einer Grundbasis R bildet, z. B. S ⊗_R M aus einem R-Modul M; im Sprachgebrauch auch Skalarerweiterung genannt. ## Prinzip Prinzip Skalarerweiterung ist die linksadjungierte (freie) Konstruktion zur Skalareinschränkung: sie stattet ein Objekt frei mit einer Wirkung der größeren Basis aus und erzwingt die ursprünglichen Relationen durch das Tensorprodukt; das Verhalten hängt von Eigenschaften der Basismorphismus ab (Flachheit, endliche Präsentation). ## Demonstration Demonstration Bei einem Ringhomomorphismus R → S und einer R-Algebra A liefert die Skalarerweiterung die S-Algebra S ⊗_R A; bei einer Darstellung einer Gruppe über einem Körper k und einer Körpererweiterung K/k erzeugt die Skalarerweiterung die K-Darstellung K ⊗_k V, wobei Dimension und Strukturkonstanten nach K erweitert werden. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die Skalarerweiterung mit einem naiven Koeffizientenwechsel zu verwechseln, ohne zu prüfen, ob die Tensorisierung Strukturen erhält: etwa kann das Tensorieren einer kurzen exakten Sequenz mit S die Exaktheit verlieren, falls S nicht flach ist, was zu Informationsverlust oder versteckter Torsion führt. ## Konsequenz Konsequenz Korrekte Skalarerweiterung erlaubt den Vergleich von Objekten über größeren Basen, kann die Struktur vereinfachen (Diagonalisation nach Erweiterung) und ist zentral für Abstiegs- und Basiswechselargumente; sie ist durch eine universelle Eigenschaft beschreibbar und verträgt sich oft mit Kolimiten. ## Umkehrung Umkehrung Die entgegengesetzte Sicht ist die Skalareinschränkung (Forgetful), die die Modulstruktur über der kleineren Basis wiederherstellt, aber die zusätzliche S-lineare Struktur, die durch Erweiterung gewonnen wurde, verliert. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt für Module, Algebren, Darstellungen und ähnliche algebraische Objekte, wenn ein Basismorphismus vorliegt; sie garantiert nicht die Erhaltung von Endlichkeit, Exaktheit oder Semisimplizität ohne Zusatzannahmen und unterscheidet sich von Komplettierungen oder Lokalisierungen, sofern diese nicht explizit die gewählten Basismorphismen sind. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannungen bestehen zwischen Skalarerweiterung und Operationen, die Koeffizienten subtiler ändern (Lokalisierung, Komplettierung, abgeleitetes Tensorprodukt): die Erweiterung ist unterivedes Tensorisieren, während abgeleitete oder komplette Änderungen Torsion und unendliche Prozesse erfassen, die das naive Tensor ignoriert. ## Synthese Synthese Skalarerweiterung ist die kanonische linksadjungierte Konstruktion, die ein Objekt durch Tensorisierung über eine größere Basis neu interpretiert; sie erweitert die Skalarwirkung frei unter Wahrung der ursprünglichen Relationen und erfordert Aufmerksamkeit gegenüber Flachheit, Endlichkeit und abgeleiteten Effekten.