## [Diagonalisierung](/de/node/63360) Definition Der Prozess und die Eigenschaft, dass ein linearer Operator oder eine Matrix bezüglich einer geeigneten Basis durch eine Diagonalmatrix dargestellt wird; das heißt, der Vektorraum besitzt eine Basis aus Eigenvektoren des Operators. ## Prinzip Prinzip Ein Endomorphismus ist genau dann diagonalisierbar, wenn eine vollständige Menge linear unabhängiger Eigenvektoren existiert; algebraisch tritt dies auf, wenn das Minimalpolynom über dem Grundkörper in paarweise verschiedene lineare Faktoren zerfällt (algebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit für jede Eigenwert). ## Demonstration Demonstration Eine reelle symmetrische 3×3-Matrix mit drei verschiedenen reellen Eigenwerten ist durch eine orthogonale Basiswechsel diagonalisiert: A = Q Λ Q^T, wobei Λ diagonal ist und die Spalten von Q orthonormale Eigenvektoren sind. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Zu behaupten, jede Matrix sei über ihrem Grundkörper diagonalisierbar; der Versuch, eine nicht diagonalisierbare Matrix (z. B. einen Jordan-Block der Größe >1) zu diagonalisieren, scheitert, weil eine vollständige Eigenvektorbasis fehlt. ## Konsequenz Konsequenz Ist ein Operator diagonalisierbar, so reduziert sich das Berechnen von Polynomen, Potenzen und Funktionen des Operators auf das Anwenden der skalaren Funktion auf die Diagonaleinträge; spektrale Rechnungen und Stabilitätsanalysen werden vereinfacht. ## Umkehrung Umkehrung Die Gegenvereinfachungen sind die Jordan- oder rationale Normalformen: Ist Diagonalisierung nicht möglich, stellt man den Operator in Jordan-Blöcken oder Companion-Blöcken dar, die nilpotente Anteile erfassen. ## Abgrenzung Abgrenzung Erfordert das Vorhandensein hinreichend vieler Eigenvektoren; Diagonalisierbarkeit hängt vom Grundkörper ab (ein Operator kann über einer Erweiterung diagonalisierbar sein, aber nicht über dem Ursprungskörper). Schließt Operatoren mit nichttrivialen nilpotenten Teilen aus. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung zwischen Diagonalisierbarkeit und Normalität: Normale Operatoren über C sind unitär diagonalisierbar, aber Diagonalisierbarkeit allein impliziert keine Normalität; Diagonalisierung (Ähnlichkeit zu einer Diagonalen) unterscheidet sich von Kongruenz oder SVD. ## Synthese Synthese Diagonalisierung trennt die skalierenden Wirkungen eines Operators durch Wahl einer Eigenvektorbasis; sie ist die stärkste lineare Vereinfachung, erreichbar genau wenn das Spektrum eine vollständige Eigenbasis liefert und transformiert Operatorfragen in skalare Fragen.