##  [Normalisierung](/de/node/63349) 

 Definition

Der Prozess, einen Ring (typischerweise einen Integritätsring oder reduzierten Ring) durch seinen integralen Abschluss in seinem totalen Quotientenring (oder in einem geeigneten umgebenden Ring) zu ersetzen, wodurch ein normales (integral abgeschlossenes) Objekt, die Normalisierung, entsteht.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Man normalisiert, indem man den integralen Abschluss im totalen Quotientenring bildet, sodass Singularitäten, die von Nicht-Integrität herrühren, beseitigt werden; die Normalisierungsabbildung ist integral und im Integritätsfall birational und erfüllt eine universelle Eigenschaft unter integralen Erweiterungen.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für den affinen Integritätsring k[x^2,x^3] ist die Normalisierung k[x]; geometrisch entspricht dies der Normalisierungsabbildung von der glatten Geraden auf die Spitze einer Nadel (Cusp). In der algebraischen Geometrie ersetzt die Normalisierung eines reduzierten Schemas die lokalen Ringe durch ihre integralen Abschlüsse in den totalen Quotientenringen.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Zu behaupten, die Normalisierung sei stets endlich oder löse alle Singularitäten; ohne noethersche oder endlich erzeugte Voraussetzungen kann die Normalisierung nicht endlich sein, und selbst endliches Normalisieren erzeugt in höheren Dimensionen nicht notwendigerweise Glattheit.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Die Normalisierung liefert ein normales Schema oder einen normalen Ring, trennt oft Verzweigungen und beseitigt bestimmte singuläre Verhaltensweisen; sie liefert ein kanonisches integrales Modell und macht die Struktur der assoziierten Primideale und Komponenten deutlicher.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Das Gegenteil ist die Rückkehr zu einem nicht-normalen Unterring, was Integritätsmängel wieder einführt und neue Singularitäten schaffen oder verschiedene Zweige identifizieren kann; Normalisierung und das Vergessen des integralen Abschlusses sind im Allgemeinen keine inversen Operationen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Normalisierung ist vor allem für Integritätsringe oder reduzierte Ringe mittels totaler Quotientenringe definiert; für beliebig nichtreduzierte Ringe muss der Begriff angepasst werden (z. B. Normalisierung des reduzierten Quotienten). Endlichkeit, Basiskompatibilität und Erhalt von Eigenschaften verlangen Voraussetzungen (Noethersch, endlich erzeugt).

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Normalisierung wird leicht mit Entsinglichung (Resolution) verwechselt: Normalisierung macht den Ring integral abgeschlossen, garantiert jedoch nicht Regularität (Glattheit); sie hängt mit dem integralen Abschluss zusammen, legt aber besonderen Wert auf den totalen Quotientenring und Birationnalität.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Normalisierung ist der kanonische integrale Abschluss eines Integritätsrings (oder reduzierten Objekts) im totalen Quotientenring und erzeugt ein normales Objekt mit einer integralen (oft endlichen) Abbildung unter geeigneten Voraussetzungen; sie beseitigt Integritätsbedingte Singularitäten bei Erhalt der birationalen Struktur.