## [Kompositionsreihe](/de/node/63338) Definition Eine endliche Kette von Unterobjekten 0 = M_0 < M_1 < ... < M_n = M (bei Moduln, Gruppen oder ähnlichen algebraischen Strukturen), sodass jeder aufeinanderfolgende Quotient M_{i+1}/M_i einfach ist (keine nichttrivialen echten Unterobjekte). Die Kette dient dazu, das Objekt in irreduzible Bausteine, die Kompositionsfaktoren, zu zerlegen. ## Prinzip Prinzip Ein Objekt durch eine endliche subnormale Kette ordnen, deren aufeinanderfolgende Faktoren minimale nichtverschwindende Objekte (einfache Objekte) sind; die Kompositionsfaktoren erfassen die irreduziblen Bestandteile, die in der Kategorie nicht weiter zerlegt werden können. ## Demonstration Demonstration Für die symmetrische Gruppe S_3 gibt es die Kette {e} < A_3 < S_3 mit A_3/{e} ≅ C3 und S_3/A_3 ≅ C2; diese Quotienten sind einfache Gruppen, somit ist die Kette eine Kompositionsreihe und die Kompositionsfaktoren sind C3 und C2. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Zu behaupten, eine Kompositionsreihe existiere für jedes Objekt ohne Endlichkeitsbedingungen — etwa für einen unendlichdimensionalen Vektorraum oder eine unendliche Gruppe ohne endliche Länge — verkennt die Notwendigkeit endlicher Länge und führt zu nicht existierenden Reihen. ## Konsequenz Konsequenz Wenn eine Kompositionsreihe existiert, ist das Multimenge der Kompositionsfaktoren bis auf Reihenfolge durch den Jordan–Hölder-Satz wohldefiniert und liefert ein kanonisches Invariant zur Klassifikation und zum Vergleich von Objekten endlicher Länge. ## Umkehrung Umkehrung Statt einer Kette mit einfachen aufeinanderfolgenden Quotienten betrachte man eine subnormale Reihe, deren Quotienten zusammengesetzt sind und nichttriviale Unterobjekte besitzen; diese Umkehrung hebt die Nichtirreduzierbarkeit und die fehlende Eindeutigkeit der Faktoren hervor. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt nur für Objekte endlicher Länge (z. B. endliche Gruppen, Moduln endlicher Länge oder artinsche/noethersche Moduln); schließt unendliche Ketten, Kategorien ohne Begriff einfacher Objekte oder Ketten mit nicht-einfachen Quotienten aus. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Spannung besteht zwischen 'Kompositionsreihe' und 'Chief-Reihe' (maximal normale Reihe) sowie zwischen der Existenz einer Kompositionsreihe und schwächeren Zerlegungen wie Jordan–Hölder-Filtrierungen, die zusätzliche Voraussetzungen verlangen. ## Synthese Synthese Eine Kompositionsreihe ist eine endliche Filtrierung, die ein algebraisches Objekt in eine Folge einfacher Quotienten reduziert; wenn sie existiert, isoliert sie die irreduziblen Bestandteile und liefert mittels des Jordan–Hölder-Prinzips ein stabiles Multimenge von Bausteinen zur Klassifikation.