##  [Konjugation](/de/node/63329) 

 Definition

Die Operation, die ein Element x einer algebraischen Struktur (typischerweise einer Gruppe oder eines gruppenähnlichen Objekts) auf sein Konjugiertes g x g^{-1} durch ein anderes Element g abbildet und somit die innere Symmetrie durch innere Automorphismen beschreibt.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Konjugation ordnet Elemente in Bahnen unter der Wirkung der Struktur auf sich selbst durch innere Automorphismen; Elemente in derselben Bahn sind bezüglich der inneren Symmetrie äquivalent.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In der symmetrischen Gruppe S_3 liefert die Konjugation der Transposition (1 2) durch den 3-Zyklus (1 2 3) das Element (1 3): (1 2 3)(1 2)(1 2 3)^{-1} = (1 3). Bei 2×2-invertierbaren Matrizen ist Konjugation durch P die Similaritätstransformation P A P^{-1}, die Eigenwerte erhält.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Konjugation als kommutative Operation zu behandeln oder anzunehmen, dass g x g^{-1} = x für beliebiges g gilt; dies übersieht, dass Konjugation x im Allgemeinen verändert, sofern x nicht zentral ist. Eine Fehlanwendung ist das unkritische Übertragen von Gruppen-Konjugationsformeln auf nichtinvertierbare lineare Abbildungen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Korrekt angewandt identifiziert Konjugation zentrale Elemente (fest durch alle Konjugationen), gliedert die Struktur in Konjugationsklassen, die in Zähl- und Darstellungstheorie wichtig sind, und erzeugt innere Automorphismen, die vielerlei Invarianten bewahren.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Anstatt Elemente durch Konjugation zu verschieben, untersucht man Zentralisatoren und Fixmengen: Die Umkehr ist das Auffinden von Elementen, die durch alle Konjugationen festgelassen werden (das Zentrum) anstelle der Bewegung von Elementen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Definiert überall dort, wo das konjugierende Element ein Inverses besitzt (Gruppen, geeignete Gruppoide, Einheiten in Ringen, invertierbare Matrizen). Nicht direkt definiert für allgemeine Halbgruppen ohne Inversen; in Lie-Algebren entspricht das Analogon der adjungierten Wirkung (ad) und nicht einer multiplikativen Konjugation.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Konjugation (innere Wirkung) unterscheidet sich von Äquivalenzbegriffen wie Isomorphie außerhalb des inneren Kontextes: Für Matrizen ist Similarität Konjugation, doch auf höherer Ebene kann 'Konjugation' mit verschiedenen Äquivalenzbegriffen kollidieren (innerer Automorphismus vs Isomorphismus).

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Konjugation ist die innere Symmetrieoperation g: x ↦ g x g^{-1}, die Elemente in Konjugationsklassen zusammenfasst, Zentralität detektiert und innere Automorphismen liefert, welche die Strukturinvarianten bewahren und zeigen, wie Elemente unter der Eigen-Symmetrie der Struktur transformieren.