## [Direkte Summe](/de/node/63319) Definition Eine Konstruktion, die eine Familie von Moduln oder Gruppen zu einem größeren Objekt zusammenfasst, das aus Tupeln mit nur endlich vielen von Null verschiedenen Komponenten besteht; die Operationen erfolgen komponentenweise. In Modul-Kategorien ist es das Koprodukt. ## Prinzip Prinzip Definiert durch die universelle Eigenschaft des Koprodukts: Abbildungen aus der direkten Summe entsprechen kompatiblen Familien von Abbildungen aus jedem Summanden; kanonische Inklusionen liefern die Einsprünge. ## Demonstration Demonstration Für eine abzählbare Familie von Vektorräumen Vi besteht die direkte Summe ⊕i Vi aus Tupeln (vi) mit vi = 0 für alle bis auf endlich viele i; lineare Abbildungen aus ⊕i Vi sind durch ihre Kompositionen mit den Inklusionen von Vi bestimmt. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Die direkte Summe verwenden, wenn das direkte Produkt verlangt ist: Verwechslung von endlich unterstützten Tupeln mit beliebigen Tupeln führt zu falschen Schlüssen über Konvergenz, Vollständigkeit oder Dualräume. ## Konsequenz Konsequenz Ermöglicht Zerlegungen von Moduln in einfachere Summanden, die Konstruktion freier Objekte und die Berechnung homologischer Invarianten; bei endlich vielen Summanden stimmen direkte Summe und Produkt überein, was viele Argumente vereinfacht. ## Umkehrung Umkehrung Ersetzt man die direkte Summe durch das direkte Produkt, fällt die Einschränkung auf endliche Unterstützung weg: das Produkt erlaubt beliebige Tupel und erfüllt die universelle Eigenschaft des Produkts statt des Koprodukts, wodurch sich das Abbildungsverhalten ändert. ## Abgrenzung Abgrenzung Gilt in Kategorien, in denen Koprodukte durch endlich unterstützte Tupel gegeben sind (Module, Vektorräume); bei unendlichen Indizes unterscheidet sich die direkte Summe vom Produkt, und topologische Komplettierungen erfordern zusätzliche Struktur. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Wird oft mit interner versus externer direkten Summe (Modul als Summe von Untermodulen vs externer Koproduktkonstruktion) und mit dem direkten Produkt verwechselt; der Begriff »Summe« verschleiert die Endlichkeitsbedingung. ## Synthese Synthese Die direkte Summe ist die Koproduktkonstruktion, die Tupel mit endlich vielen Nicht-Null-Einträgen bildet, Inklusionen jedes Summanden bereitstellt und Modulzerlegungen kodiert, wobei sie sich bei unendlichen Familien vom kartesischen Produkt unterscheidet.