##  [Freie Gruppe](/de/node/63317) 

 Definition

Eine Gruppe, die von einer Menge S erzeugt wird und neben den durch die Gruppenaxiome vorgeschriebenen Bedingungen keinerlei Relationen besitzt: Elemente sind reduzierte Wörter in S ∪ S^{-1}, Multiplikation ist Konkatenation gefolgt von freier Reduktion; äquivalent durch eine universelle Abbildungseigenschaft charakterisiert.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Freiheit in der Gruppentheorie bedeutet, dass die Erzeuger nur den Gruppenaxiomen unterworfen sind und keine weiteren Relationen haben; die universelle Eigenschaft besagt, dass jede Abbildung von S in eine Gruppe G eindeutig zu einem Gruppenhomomorphismus vom freien Gruppen F(S) nach G erweitert.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

Für eine Menge S lässt sich die freie Gruppe F(S) als Menge äquivalenzierter reduzierter Wörter in den Symbolen aus S und ihren formalen Inversen konstruieren: z. B. enthält F({a,b}) Wörter wie a b^{-1} a a, und Homomorphismen aus F({a,b}) sind durch die Bilder von a und b bestimmt.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Freie Gruppen mit freien abelschen Gruppen zu verwechseln (diese verlangen Kommutativität), oder anzunehmen, dass das Fehlen von Relationen in einer Präsentation überall algebraische Unabhängigkeit bedeutet; falsche Wortreduktion führt zu fehlerhaften Gleichheitsbehauptungen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Freie Gruppen sind Bausteine der kombinatorischen und geometrischen Gruppentheorie: sie liegen Präsentationen zugrunde, ermöglichen universelle Konstruktionen, Aktionen auf Überlagerungen und zeigen, wie Relationen die Struktur durch Quotientierung einschränken.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Eine präsentierte Gruppe ist der Quotient einer freien Gruppe durch den normalen Abschluss der vorgegebenen Relationen; genügend Relationen können die Freiheit zu einer trivialen oder stark eingeschränkten Gruppe kollabieren lassen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt in der Kategorie der Gruppen (standardmäßig nichtabelsch); der Begriff unterscheidet sich, wenn man abelisiert (freie abelsche Gruppe) oder in anderen algebraischen Kategorien arbeitet, in denen Freiheit formal anders definiert ist.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen freien und freien abelschen Begriffen sowie zwischen algebraischer Freiheit und geometrisch/topologischen Interpretationen (z. B. sind Fundamentalg­ruppen von Graphen frei); außerdem gibt es Spannungen bei freien Gruppen unendlichen Rangs hinsichtlich Basen und Automorphismengruppen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eine freie Gruppe über einer Menge S ist die allgemeinste von S erzeugte Gruppe ohne zusätzliche Relationen: ihre Elemente sind reduzierte Wörter, sie erfüllt eine universelle Abbildungseigenschaft und dient als Ausgangspunkt zur Konstruktion von Gruppen durch Relationseinführung (Quotienten).