## [Polynomring](/de/node/63309) Definition Der Polynomring in einer oder mehreren Unbestimmten über einem Grundring oder Körper R, bezeichnet R[x], R[x1,...,xn], bestehend aus endlichen R-linearen Kombinationen von Monomen in den Unbestimmten. ## Prinzip Prinzip Polynome bilden die freie kommutative R-Algebra auf einer Menge von Unbestimmten: Ausdrücke sind endliche Summen von Koeffizienten mal Monome, Addition und Multiplikation folgen aus der Distributivität. ## Demonstration Demonstration k[x] ist der Polynomring in einer Variablen über einem Körper k; k[x,y] besteht aus endlichen Summen a_{ij} x^i y^j. Ist R noethersch, so ist auch R[x] noethersch (Hilberts Basissatz). ## Fehlanwendung Fehlanwendung Den Polynomring mit dem Ring polynomieller Funktionen über einem endlichen Feld zu verwechseln: verschiedene Polynome können dieselbe Funktion definieren, und formale Potenzreihen unterscheiden sich wesentlich von Polynomen. ## Konsequenz Konsequenz Polynomringe liefern Koordinatenringe für affine Varietäten, erlauben gradbasierte Algorithmen (Division, Gröbner-Basen über Körpern) und dienen als prototypische Beispiele in der Algebra. ## Umkehrung Umkehrung Formale Potenzreihen R[[x]] erlauben unendliche Summen und haben sehr unterschiedliche Vervollständigungs- und Konvergenzeigenschaften; freie Algebren in nichtkommutierenden Variablen unterscheiden sich vom kommutativen Polynomring. ## Abgrenzung Abgrenzung Üblicherweise spricht man von kommutativen Polynomen in kommutierenden Unbestimmten über einem einheitlichen Grundring; nichtkommutative Freialgebren, rationale Funktionenkörper oder Potenzreihen sind ausgeschlossen, sofern nicht angegeben. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Polynomring vs ring polynomieller Funktionen: Der erste ist eine formale Algebra, der zweite eine Menge von Funktionen; über unendlichen Körpern stimmen sie oft als Abbildungen überein, jedoch nicht als algebraische Objekte generell. ## Synthese Synthese Ein Polynomring ist die Algebra der endlichen formalen Linearkombinationen von Monomen in Unbestimmten mit Koeffizienten aus einem Grundring; er ist die freie kommutative Algebra und bildet die Grundlage vieler algebraischer und geometrischer Konstruktionen.