##  [Ideal](/de/node/63305) 

 Definition

Eine Teilmenge I eines Rings R, die unter Addition abgeschlossen ist und unter Multiplikation mit beliebigen Elementen von R absorbiert wird (r·i und i·r liegen in I); in kommutativen Ringen bedeutet das r·i ∈ I für alle r∈R, i∈I.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Ein Ideal abstrahiert die Idee einer kernähnlichen Menge, die stabil unter Ringoperationen ist, so dass der Quotient R/I sinnvoll definiert werden kann.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In Z ist nZ die Menge der Vielfachen von n und ein Ideal; in k[x] ist (f) die Menge aller Vielfachen eines Polynoms f, ein principales Ideal.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Ein Ideal mit einem Unterring verwechseln: Ein Ideal muss nicht die Eins 1 enthalten und ist im Allgemeinen nicht unter der Multiplikation seiner eigenen Elemente geschlossen, falls das nicht aus der Ringmultiplikation folgt.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Ideale erlauben die Bildung von Quotientenringen und unterstützen Konstruktionen wie Primärzerlegung, Lokalisierung und die Untersuchung von Homomorphismuskernen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Eine multiplikative Teilmenge oder ein Unterring, der 1 enthält und unter Multiplikation abgeschlossen ist, aber nicht die Absorptionsbedingung erfüllt, unterscheidet sich fundamental von einem Ideal; solche Mengen liefern keine Quotienten auf die gleiche Weise.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Zu unterscheiden sind beidseitige, linke und rechte Ideale in nichtkommutativen Ringen; in der kommutativen Algebra bedeutet 'Ideal' zumeist beidseitig. Ideale sind Untermengen von Ringen, keine allgemeinen Moduluntergruppen (obwohl Ideale Moduln sind).

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Ideal vs Untermodul: Ein Ideal ist ein Untermodul des Rings als Modul über sich selbst; die Fokussierung auf nur eine der Perspektiven (z. B. Kern oder Unterring) kann die Absorptions-Eigenschaft verschleiern.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Ein Ideal ist eine additiv abgeschlossene, durch Ringelemente absorbierende Teilmenge eines Rings; es ist die geeignete Struktur, um Quotienten zu bilden und die Ringstruktur zu untersuchen.