## [Noetherscher Ring](/de/node/63304) Definition Ein Ring, in dem jede aufsteigende Kette von Idealen stationär wird; äquivalent: jedes Ideal ist endlich erzeugt. ## Prinzip Prinzip Eine Endlichkeitsbedingung für das Verbandsystem der Ideale: Folgen I1 ⊆ I2 ⊆ I3 ⊆ … erreichen irgendwann In = In+1, wodurch unendliche streng wachsende Ketten ausgeschlossen sind. ## Demonstration Demonstration Der Polynomring k[x1,...,xn] über einem Körper k ist noethersch (Hilberts Basisatz). Der Ring Z der ganzen Zahlen ist noethersch, da jedes Ideal principal ist. ## Fehlanwendung Fehlanwendung Zu behaupten, jeder Unterring oder jeder Quotient eines noetherschen Rings sei wieder noethersch, ohne die nötigen Voraussetzungen zu prüfen — Unterringe erben Noetherschheit nicht allgemein. ## Konsequenz Konsequenz Ideale sind endlich erzeugt, was viele Strukturresultate (Primärzerlegung, Dimensionstheorie) und algorithmische Verfahren in der kommutativen Algebra ermöglicht. ## Umkehrung Umkehrung Ein nicht-noetherscher Ring besitzt eine unendliche streng aufsteigende Kette von Idealen oder Ideale, die unendlich viele Erzeuger benötigen, z. B. k[x1,x2,...] mit unendlich vielen Variablen. ## Abgrenzung Abgrenzung Die Aussage gilt klassisch für kommutative Ringe mit Eins; es gibt jedoch Versionen für nichtkommutative Ringe (links- bzw. rechts-noethersch). Sie trifft keine direkte Aussage über die Endlichkeit von Moduln ohne zusätzliche Voraussetzungen. ## Semantische Spannung Semantische Spannung Noetherschheit steht im Spannungsverhältnis zur Artinschen Bedingung (absteigende Ketten). Sie fallen nur in beschränkten Situationen zusammen, deshalb ist ein Austausch der Begriffe irreführend. ## Synthese Synthese Ein noetherscher Ring erzwingt eine handhabbare Endlichkeitsstruktur der Ideale: aufsteigende Ketten stabilisieren und jedes Ideal hat endlich viele Erzeuger, was viele algebraische Verfahren ermöglicht.