##  [Normale Untergruppe](/de/node/63277) 

 Definition

Eine Untergruppe N einer Gruppe G, so dass für jedes g in G und n in N das Konjugat gng^{-1} in N liegt; äquivalent sind linke Nebenklassen gleich rechten Nebenklassen und N ist invariant unter Konjugation durch G.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Normalität ist die Invarianzbedingung, die benötigt wird, um einen wohldefinierten Quotienten zu bilden: Eine Untergruppe muss unter den inneren Symmetrien der Gruppe (Konjugation) stabil sein, damit die Nebenklassenmultiplikation konsistent ist.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In jeder abelschen Gruppe ist jede Untergruppe normal, da gng^{-1}=n für alle g gilt; in der symmetrischen Gruppe S3 ist die Untergruppe A3 normal, sodass der Quotient S3/A3 gebildet werden kann.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Jede Untergruppe fälschlich als normal behandeln, ohne Konjugationsabschluss zu prüfen; eine Untergruppe vom Index zwei ist zwar stets normal, aber bei höherem Index gilt das nicht notwendigerweise, und Normalitätsannahmen können zu falschen Quotientenkonstruktionen führen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Normale Untergruppen erlauben die Konstruktion von Faktorguppen und die Untersuchung der Gruppenstruktur über exakte Folgen; sie sind Kerne von Homomorphismen und ordnen Gruppen als Erweiterungen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Eine nicht normale Untergruppe erzeugt keine faktorisierbare Gruppe der Nebenklassen unter der umgebenden Operation; linke und rechte Nebenklassen unterscheiden sich und die Quotientenoperation ist nicht wohldefiniert.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Normalität ist eine eigenschaft, die sich auf die übergeordnete Gruppe G und ihre Konjugationswirkung bezieht; in G normal zu sein impliziert nicht Normalität in einer größeren Gruppe, und Normalität hängt mit Index, Erzeugung und Automorphismengruppen zusammen.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Abzugrenzen von charakteristischen Untergruppen (invariant unter allen Automorphismen) und invarianten Mengen; Normalität ist schwächer als Charakteristik und stärker als bloße Untergruppenzugehörigkeit, aber abhängig von der umgebenden Aktion.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eine normale Untergruppe ist eine Untergruppe, die von der Konjugation durch die übergeordnete Gruppe festgehalten wird; sie bildet die notwendige und hinreichende Bedingung zur Bildung eines Faktorraums und erscheint als Kern eines Homomorphismus.