##  [Untergruppe](/de/node/63275) 

 Definition

Eine Teilmenge einer Gruppe, die selbst eine Gruppe unter derselben binären Operation bildet und das Einselement sowie Inverse der übergeordneten Gruppe erbt.

 

 

 

 

 

 





## Prinzip

Prinzip

Geschlossene Teilmengen für die Gruppenoperation identifizieren, die das Identitätselement enthalten und unter Inversen und der Verknüpfung abgeschlossen sind, sodass die Untergruppenaxiome ohne Änderung der umgebenden Operation gelten.

 

 

 

 

 





## Demonstration

Demonstration

In der Gruppe der ganzen Zahlen unter Addition (Z, +) ist die Menge der geraden Zahlen 2Z eine Untergruppe, da sie 0 enthält, unter Addition abgeschlossen ist und additive Inverse enthält.

 

 

 

 

## Fehlanwendung

Fehlanwendung

Jede beliebige Teilmenge fälschlich als Untergruppe bezeichnen, ohne Abschluss oder Existenz von Inversen zu prüfen — etwa die positiven ganzen Zahlen in (Z, +) sind keine Untergruppe, weil 0 und Inverse fehlen.

 

 

 

 

 





## Konsequenz

Konsequenz

Untergruppen erlauben die Untersuchung der lokalen Struktur innerhalb einer Gruppe, die Definition von Nebenklassen, Index und eingeschränkten Aktionen; sie sind Bausteine für Normalität, Faktorisierungen und Gruppenwirkungen.

 

 

 

 

## Umkehrung

Umkehrung

Eine Teilmenge, die nicht unter der Operation abgeschlossen ist oder Identität bzw. Inverse vermissen lässt, ist keine Untergruppe und kann nicht als Gruppe für die umgebende Operation dienen.

 

 

 

 

 





## Abgrenzung

Abgrenzung

Gilt für Teilmengen einer gegebenen Gruppe; der Begriff schließt Teilmengen aus, die eine andere Operation bräuchten, um Gruppe zu sein, und verlangt dieselbe Operation sowie dasselbe Identitätselement wie die umgebende Gruppe.

 

 

 

 

 





## Semantische Spannung

Semantische Spannung

Verwechslungen treten mit Untermonoid oder lediglich unter der Operation abgeschlossenen Mengen ohne Inverse auf; Untergruppen erfordern vollständige Gruppenaxiome und unterscheiden sich so von bloßen abgeschlossenen Mengen oder Erzeugendenmengen.

 

 

 

 

 





## Synthese

Synthese

Eine Untergruppe ist ein Teil einer Gruppe, der unter der geerbten Operation selbst die Gruppenaxiome erfüllt und so eine fokussierte Strukturuntersuchung über Inklusion und Index ermöglicht.